กฎของเคปเลอร์

ภาพที่ 1 โจฮานเนส เคปเลอร์

        หลังจากที่กาลิเลโอพิสูจน์ว่า ระบบดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลางของระบบสุริยะ (Heliocentric) เป็นความจริง  นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ยังปักใจว่า วงโคจรของดาวเคราะห์เป็นรูปวงกลมที่สมบูรณ์ จึงไม่มีใครสามารถพยากรณ์ตำแหน่งของดาวเคราะห์ล่วงหน้าได้ถูกต้อง  จนกระทั่ง โจฮานเนส เคปเลอร์ (Johannes Kepler) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันซึ่งมีชีวิตอยู่ในระหว่าง ค.ศ.1571 – 1630 (พ.ศ.2114 - 2173) ได้ทำการวิเคราะห์ข้อมูลตำแหน่งของดาวเคราะห์ ซึ่งได้มาจากการตรวจวัดอย่างละเอียดโดย ไทโค บราเฮ (Tycho Brahe) นักดาราศาสตร์ประจำราชสำนักเดนมาร์ก ผู้มีชื่อเสียงในยุคนั้น (แต่ไทโคคงยังเชื่อในระบบโลกเป็นศูนย์กลาง) แล้วทำการทดลองด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เคปเลอร์พบว่า ผลของการคำนวณซึ่งถือเอาวงโคจรเป็นรูปวงกลมไม่สอดคล้องกับข้อมูลที่ได้จากการสังเกตการณ์  แต่สอดคล้องกับการคำนวณซึ่งถือเอาวงโคจรเป็นรูปวงรี   ในปี ค.ศ.1609 (พ.ศ.2152) เคปเลอร์ได้ประกาศกฎข้อที่ 1  (กฎของวงรี)  “ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึ่ง” 

ภาพที่ 2 วงโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงรี

        หมายเหตุ: การสร้างวงรี สามารถทำได้โดย 2 วิธีคือ  วิธีขึงเชือก  สร้างสามเหลี่ยมระหว่างจุดโฟกัส 2 จุดและปลายดินสอ  จากนั้นลากดินสอรอบจุดโฟกัส  โดยให้เส้นเชือกตรึงอยู่ตลอดเวลา  ดังภาพที่ 3  และวิธีภาคตัดกรวย ในภาพที่ 4  

ภาพที่ 3 การสร้างวงรี

ภาพที่ 4  ภาคตัดกรวยชนิดต่างๆ

        ในปีเดียวกัน เคปเลอร์พบว่า ความเร็วในวงโคจรของดาวเคราะห์มิใช่ค่าคงที่  ดาวเคราะห์เคลื่อนที่เร็วขึ้นเมื่อเข้าใกล้ดวงอาทิตย์  และเคลื่อนที่ช้าลงเมื่อออกห่างจากดวงอาทิตย์   เคปเลอร์ประกาศกฎข้อที่ 2 (กฎของพื้นที่เท่ากัน)  “เมื่อดาวเคราะห์เคลื่อนที่ตามวงโคจรไปในแต่ละช่วงเวลา 1 หน่วย  เส้นสมมติที่ลากโยงระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ จะกวาดพื้นที่ในอวกาศได้เท่ากัน” 

ภาพที่ 5  พื้นที่ที่กวาดไปช่วงเวลาที่เท่ากัน ย่อมมีขนาดเท่ากัน

                เก้าปีต่อมา ในปี ค.ศ.1618 (พ.ศ.2161)  เคปเลอร์พบว่า พื้นที่ของคาบวงโคจรของดาวเคราะห์ (คำว่า “พื้นที่” หมายถึง กำลังสอง) จะแปรผันตาม ปริมาตรของระยะห่างจากดวงอาทิตย์เสมอ (คำว่า “ปริมาตร” หมายถึง กำลังสาม) หรือพูดอย่างง่ายว่า  “กำลังสองของคาบวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ จะแปรผันตาม กำลังสามของระยะห่างจากดวงอาทิตย์   เมื่อนำค่ายกกำลังสองของคาบวงโคจรของดาวเคราะห์ p2  มาหารด้วย ค่ากำลังสามของระยะห่างจากดวงอาทิตย์ a3 จะได้ค่าคงที่เสมอ (p2/a3 = k, k เป็นค่าคงที่)  มิว่าจะเป็นดาวเคราะห์ดวงใดก็ตาม  กฎข้อที่ 3 นี้เรียกว่า “กฎฮาร์มอนิก” (Harmonic Law)

        โดยที่ระยะทาง 1 หน่วยดาราศาสตร์ หรือ 1 AU (Astronomical Unit) เท่ากับ ระยะทางเฉลี่ยจากโลกไปยังดวงอาทิตย์ หรือ 149,600,000 ล้านกิโลเมตร (ในยุคของเคปเลอร์ยังไม่ทราบว่า 1 AU มีค่าเท่าไร จึงติดค่าไ่ว้ในลักษณะของสัดส่วน) 

        อนึ่ง ในยุคของเคปเลอร์เป็นยุคที่เรขาคณิตรุ่งเรือง เคปเลอร์ได้สร้างแบบจำลองของระบบสุริยะแบบสามมิติ เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมซ้อนกันดังในภาพที่ 6 โดยถือว่า p2 คือพื้นที่ของเวลา และ a3 คือลูกบาศก์ของเวลา เป็นสัดส่วนกันในแต่ละชั้น 

ภาพที่ 6 แบบจำลองระบบสุริยะของเคปเลอร์

สรุป กฎของเคปเลอร์

        กฎข้อที่ 1:  ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่โฟกัสจุดหนึ่ง

        กฎข้อที่ 2:  เวลาที่ดาวเคราะห์ใช้โคจรรอบดวงอาทิตย์ คาบเวลาเท่ากันจะกวาดได้พื้นที่เท่ากัน 

        กฎข้อที่ 3:  กำลังสองของคาบวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ แปรผันตามกำลังสามของระยะห่างจากดวงอาทิตย์

                        (p2/a3 = k, k เป็นค่าคงที่)